累乗とn進数

累乗

同じ数をいくつか掛けた場合に、掛けた個数を右肩に書いて数を表現する方法を累乗という。

5 = 5¹　　：5の1乗
数字が1個だけの場合は、1個掛けたと考える。

2×2 = 2²　　：2の2乗（2乗の場合だけ自乗と呼ぶこともある。）

2を2個掛る


3×3×3×3×3 = 3⁵　：3の5乗

3を5個掛る

上でも3を5個掛るという表現にして、3を5回掛るとは書いていないことに注意。掛け算×の個数ではない。数字の個数である。

こういう細かい言葉の違いが面倒くさいかもしれないが、細かい言葉の違いを間違えて覚えて訳が分からなくなる人がいるので注意して欲しい。

3を5回掛けるのではなく、3を5個掛けているのである。

n×n×n×…×n×n×n　 = 　n^m　　：ｎのm乗

ｍ個かけ合わせる

nをm個かけ合わせたものをn^mと書いてｎのm乗と呼ぶ。(n：実数、m：自然数)

1乗、2乗（自乗）、3乗、....をまとめて累乗と呼ぶ。

累乗の整数への拡張

m=0の時、n⁰ = 1
m<0の時は、n^m = 1/n^-m
と定義する。
ｎとかｍとか1/ｎとか出てきたとたんに訳が分からなくなる人もいる。これは、ある程度の慣れが必要なので、面倒でも、何回も読んでください。

【例】
2⁰ = 1
0⁰ = 1
0は幾つかけ合わせても0だが、定義から0⁰ = 1となる。
5^-2 = 1/5² = 1/25

累乗の性質

n：実数、m、l：自然数
n^m×n^l = n×n×n×…×n×n×n ×n×n×n×…×n×n×n
　　　　　　　　　ｍ個　　　　　　　　　　ｌ個

ｎがm+l個掛けあわされているからn^(m+l)

n^m÷n^l = n^(m-l)
１）ｍ＞lの場合
nm÷nl = n×n×n×…×n×n×n /n×n×n×…×n×n×n
　　　　　　　　　ｍ個　　　　　　　　　　ｌ個

ｌ個のｎが分母・分子で通分されてm-l個が分母に残る。
よって、n^(m-l)

２）ｍ＜lの場合
n^m÷n^l = n×n×n×…×n×n×n /n×n×n×…×n×n×n
　　　　　　　　　ｍ個　　　　　　　　　　ｌ個

m個のｎが分母・分子で通分されてl-m個が分母に残る。

nm÷nl = 1 /n×n×n×…×n×n×n
　　　　　　　　　l-m個

よって、1/n^(l-m) = n^(m-l)

３）ｍ = lの場合
nm÷nl = n×n×n×…×n×n×n /n×n×n×…×n×n×n
　　　　　　　　　ｍ個　　　　　　　　　　ｌ個

m = l個のｎが分母・分子で通分されて1だけ残る。

よって、n^m÷n^l = 1 = ｎ⁰ = n^(m-l)

【例】
3⁴×3⁵ = 3^（4+5） = 3⁹
5²/5⁵ = 5^-3

n進数

0から始まり、1を加えていき、１をｎ回加えたら、次の位に桁上りが発生して、10になる数字の表現方法。ｎを基数という。

普段の生活では10進数が良くつかわれる。
0→+1→1→+1→2→+1→3→+1→4→+1→5→+1→6→+1→7→+1→8→+1→9→+1→10
0に1が10回加わると10になる。


・1桁の英数字で0〜（n-1）までのn通りの状態を表現
・複数の英数字を並べて数を表現する。
a^(m-1)a^(m-2)…a²a¹a⁰
0〜(n-1)の英数字をm個並べた状況

右から1の位、nの位、nの2乗の位…nの（m-2）乗の位、nの（m-1）乗の位と呼び、
a_(m-1)a_(m-2)…a₂a₁a₀はa_(m-1)×n^(m-1)+a_(m-2)×n^(m-2)…+a₂×n²+a₁×n¹+a₀×n⁰を表す。


・n倍する→全体の桁を一つ左にずらして右に0をつける。

・ｎで割る（n分の一する）→全体の桁を一つ右にずらす。元の数の1の位はｎで割った余りになる。

10進数

2156 = 2×10³+1×10²+5×10¹+6×10⁰ = 2000+100+50+6


・1桁で0〜9までの10通りの状態を表現
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21….

・10倍する→全体の桁を一つ左にずらして右に0をつける。
【例】10倍を→で表す
5→50
28→280
365→3650

・10で割る（10分の１する）→全体の桁を一つ右にずらす。
【例】10で割るを→で表す
55→5余り5
121→12余り１
20000→2000余り0

8進数

3572(8) = 3×8³+5×8²+7×8¹+2×8⁰ = 3×512+5×64+7×8+2 = 1536+448+56+2 = 2042(10)
3572(8)の様に何進数かを明示的に示す場合は、数字の右下に（n）という風に表記する。

・1桁で0〜7までの8通りの状態を表現
0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,22,23,24,25,26,27,30….

・8倍する→全体の桁を一つ左にずらして右に0をつける。
【例】8倍を→で表す
5→50
27→280
365→3650

・8で割る（8分の１する）→全体の桁を一つ右にずらす。
【例】8倍を→で表す
365→36余り5
7251→725余り1
160→16余り0

2進数

10010101 = 1×2⁷+0×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+0×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰ = 128+16+4+1 = 149（10）

・1桁で0〜1の2通りの状態を表現
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111….

・2倍する→全体の桁を一つ左にずらして右に0をつける。
【例】
1→10
101→1010
1101→11010

・2で割る（2分の１する）→全体の桁を一つ右にずらす。
【例】
101→10余り１
10110→1011余り０
110101→11010余り1

・2進数は1の位が0なら偶数、1なら奇数

16進数

16進数は0から15までを一ケタで表す。ただし、9より大きい一ケタの数字はない。そこで、コンピュータの世界では10進数の10はA、10進数の11はB、10進数の12はC、10進数の13はD、10進数の14はE、10進数の15はFと書く約束にしている。


16A0FB = 1×16⁵+6×16⁴+A×16³+0×16²+F×16¹+B×16⁰ = 1×1677216+6×1048576+10×65536+0×4096+15×256+11×1 = 8327883（10）


・1桁で0〜Fまでの16通りの状態を表現
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,14,15….

・16倍する→全体の桁を一つ左にずらして右に0をつける。
【例】
A→A0
F8→F80
3A5F→3A5F0

・16で割る（16分の１する）→全体の桁を一つ右にずらす。
【例】
67F→67余りF
352→35余り2


          2進数             8進数     10進数    16進数
例       10101011        253         171        AB
10倍    101010110       2530       1710       AB0
1/ｎ     1010101          25          17          A
1/2     1010101          125         85          55
1/8     10101             25          21          15
1/16    1010              12          10          A

【参考】
2進数を8で割る→全体を右に3ビットずらす。元の数の下3桁が余り。
2進数を16で割る→全体を右に4ビットずらす。元の数の下4桁が余り。

基数の変換

n進数は数値を基数nで表現したものだから、例えば2進数の1011と8進数の13と10進数の11と16進数のBは同じものである。
1011(2) = 13(8) = 11(10) = B(16)

n進数をm進数にすることを基数変換という。

2進数?8進数、2進数?16進数
2進数?8進数、2進数?16進数は簡単に変換できる。

2進数→8進数

【手順】
�@2進数で表現された数を下から3桁ずつグループ化する。
（この時、先頭が2桁でない場合は0を補って3桁にする。）
�A3桁に対して下記を当てはめていく。
000→0
001→1
010→2
011→3
100→4
101→5
110→6
111→7
（ちょうど2進数3桁が8進数1桁に対応している。）
�B上で計算した結果を順番に並べていく。

例）
10111001001110001(2)
10｜111｜001｜001｜110｜001
�@｜ �A ｜�B ｜ �C｜ �D｜ �E

�E001→1
�D110→4+2 = 6
�C001→1
�B001→1
�A111→4+2+1 = 7
�@10→010→2

10111001001110001(2) = 271161(8)

8進数→2進数

【手順】
�@8進数で表現された数を下から1桁ずつ下記表で3桁の2進数として機械的に変換
0→000
1→001
2→010
3→011
4→100
5→101
6→110
7→111
�A上で計算した結果を順番に並べていく。

例）
3254167(8)
3→011
2→010
5→101
4→100
1→001
6→110
7→111

3254167(8) = 011010101100001110111(2) = 11010101100001110111(2)

2進数→16進数

【手順】
�@2進数で表現された数を下から4桁ずつグループ化する。
（この時、先頭が4桁でない場合は0を補って4桁にする。）
�A4桁に対して、下記に従って2進数を16進数に当てはめていく。
0000→0
0001→1
0010→2
0011→3
0100→4
0101→5
0110→6
0111→7
1000→8
1001→9
1010→A
1011→B
1100→C
1101→D
1110→E
1111→F
（ちょうど2進数4桁が16進数1桁に対応している）
�B上で計算した結果を順番に並べていく。

例）
10111001001110001(2)
1｜0111｜0010｜0111｜0001
�@｜ �A ｜�B ｜ �C　｜ �D

�D0001→1
�C.0111→7
�B0010→2
�A0111→7
�@0001→1

10111001001110001(2) = 17271(16)

16進数→2進数

【手順】
�A16進数それぞれの桁に対して、下記に従って2進数を当てはめていく。
0→0000
1→0001
2→0010
3→0011
4→0100
5→0101
6→0110
7→0111
8→1000
9→1001
A→1010
B→1011
C→1100
D→1101
E→1110
F→1111
�B上で計算した結果を順番に並べていく。

例）
AB240C(16)

A→1010
B→1011
2→0010
4→0100
0→0000
C→1100

AB240C(16) = 101010110010010000001100(2)

ｎ進数→10進数

10進数に変換するのも比較的簡単に出来る。

ｎ進数の定義を思い出すと、
a^(m-1)a^(m-2)…a²a¹a⁰

0〜(n-1)の英数字をm個並べんだ状況
右から1の位、nの位、nの2乗の位…nの（m-2）乗の位、nの（m-1）乗の位と呼び、
a^(m-1)a^(m-2)…a²a¹a⁰はa(m-1)×n(m-1)+a(m-2) ×n(m-2)…+a2×n2+a1×n1+a0×n0を表す。

だから、

2進数→10進数
2⁰→1
2¹→2
2²→4
2³→8
2⁴→16
2⁵→32
2⁶→64
2⁷→128
2⁸→256
2⁹→512
2¹⁰→1024
2¹¹→2048
2¹²→4096
2¹³→8192
2¹⁴→16384
2¹⁵→32768
2¹⁶→65536
m桁目は2^(m-1)

2進数の1の部分の2^(m-1)を加えれば10進数になる。

例）
1011001011101011(2) = 32768+8192+4096+512+128+64+32+8+2+1 = 45803
B2EB = 11×4096+2×256+14×16+11 = 45056+512+224+11 = 45803

商と余りの関係

p、q、r、dは整数とする。（ただしq≠0）
ｐをｑで割った時の商をd余りをrとすると、

ｐ = d×ｑ+ｒ（ただし0≦r<｜q｜）
この0≦r<｜q｜という条件は次のような例を考えてみてください。
-10を-3で割ることを考えます。その場合の商と余りはなんでしょう。
-10は下の様に書けることは分かります。
-10 = -3×2-4　　…�@
-10 = -3×3-1　　…�A
-10 = -3×4+2　　…�B
-10 = -3×5+5　　…�C
ここで、�@も�Cも余りに見える部分の絶対値が割る数-3の絶対値3より大きいいので余りとは言いにくいでしょう。

そうすると、問題は-10を-3で割った商と余りは�Aの3と-1なのか�Bの4と2なのかと言うことです。

そこで、正の数の除算を考えた際の自然な拡張になるように、ｒ≧0と決めておきます。
結局�Bとなって、-10を-3で割った商は4余り2となります。

例）121を2で割った商は60余りは１だから121 = 60×2+1
121を8で割った商は15余りは1だから121 = 15×8+1
121を16で割った商は7余りは9だから121 = 7×16+9

10進数→2進数

10進数を2進数に変換するのは手順自体は簡単だけれど2の割り算を行う必要があるので、少しだけ面倒。
10進数αを2進数に変換する
【手順】
�@αを２で割った商をα₀、余りをγ₀（ここでγ₀は0か1）とする。
�A求める2進数の最下位の桁をγ₀とする。
�Bα₀ = 0なら求める2進数はγ₀（ここでα₀、γ₀は0か1）
�Cα₀≧1ならα₀を２で割った商をα₁、余りをγ₁（ここでγ₁は0か1）とする。
�D求める2進数の下から次の位の桁をγ₁とする。
�Eα₁ = 0なら求める2進数はγ₁γ₀（ここでα₁、γ₁、γ₀は0か1）
�Fα₁≧2ならα₁を２で割った商をα₂、余りをγ₂（ここでγ₂は0か1）とする。
上記の�D〜�Fをα₁をα_i（i≧2）、γ₁をγ_i（i≧2）で置き換えてα_i = 0になるまで繰り返す。
最後γ_m-1…γ₀（m≧1）が求める2進数

【例】
317
317/2 = 158×2+1
158 = 79×2+0
79 = 39×2+1
39 = 19×2+1
19 = 9×2+1
9 = 4×2+1
4 = 2×2+0
2 = 1×2+0
1 = 0×2+1

よって、317(16) = 100111101(2)

【参考】
商と余りの関係で見たように10進数α（＞2）を2で割った商をβ₀、余りをγ₀とすると
α = β₀×2+γ₀（ここで、γ₀は0か1）
ここでβ₀＞2なら、再度2で割れて商がβ₁、余りがγ₁とすると、
β₀ = β₁×2+γ₁（ここで、γ₁は0か1）
つまり
α = （β₁×2+γ₁）×2+γ₀ここで、γ₀、γ₁は0か1）
これをまたβ₁に対して考える。ここでβ₁＞2なら、再度2で割れて商がβ₂、余りがγ₂とすると、
β₁ = β₂×2+γ₂（ここで、γ₂は0か1）
つまり
α = （（β₂×2+γ₂）×2+γ₁）×2+γ₀ここで、γ0、γ1、γ2は0か1）
これをβm = 0になるまで上のことを繰り返すと、
α = （（（...（（（γ_ｍ-1×2+γ_ｍ-2）×2+γ_ｍ-3+…+γ₂）×2+γ₁）×2+γ₀
= γ_m-1×2^m-1+γ_m-2×2^m-2+…+γ₂×2²+γ₁×2¹×γ₀×2⁰（rm-1 = １、r_i（i = 0〜ｍ-2）は0か1）
ここでβ₀、γ₀はもともとのαを2で割った商と余り、β_n、γ_nはβ_n-1を2で割った商と余りだった。
つまり、最初だけαだけれども、あとは２で割った商をさらに２で割っていくことを繰り返していく。
その都度余りを、右から並べていくと、1か0の列ができて、最後商が0になったら、そこで終わると、10進数が2進数に変換されていることになる。